Chapitres 5 : la fonction exponentielle 30 novembre 2013




Contrôle de mathématiques
Lundi 09 décembre 2013


Exercice 1
ROC (3 points)

1) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e x − x.
Montrer que pour tout réel x : f (x) > 1.
2) En déduire que lim e x = +∞.
x→+∞
3) En faisant un changement de variable astucieux démontrer que : lim e x = 0
x→−∞



Exercice 2
Propriétés, équation et inéquation (2 points)
!2 !2
e x + e−x e x − e−x
1) Simplifier l’expression suivante : −
2 2
2) Résoudre dans R l’équation et l’inéquation suivantes :
ex + 3
a) e2x+1 − 1 = 0 b) x >2
e +1

Exercice 3
Exercice bac (7,5 points)
1
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = e x + .
x
1) Étude d’une fonction auxiliaire
a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [0 ; +∞[ par : g(x) = x2 e x − 1.
Étudier le sens de variation de la fonction g et déterminer la limite de g en +∞. On
dressera le tableau de variation.
b) Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g(a) = 0.
c) Déterminer un encadrement de a à 10−3
d) Déterminer le signe de g(x) sur [0 ; +∞[.
2) Étude de la fonction f
a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
b) On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
g(x)
Démontrer que pour tout réel strictement positif x, f ′ (x) = 2 .
x
c) En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation
sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
1 1
d) Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel : m = 2 + .
a a
e) Justifier que 3, 43 < m < 3, 45.

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Exercice 4
Fonctions logistiques (7,5 points)
Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk définie sur R par :
1
fk (x) =
1 + e−kx
 
→
− → −
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  .
Partie A
1
Dans cette partie on choisit k = 1. On a donc, pour tout réel x, f1 (x) = .
 1 +e−x
→− →−
La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le repère O, ı ,  est donnée en
annexe, à rendre avec la copie.

1) Déterminer les limites de f1 (x) en +∞ et en −∞ et interpréter graphiquement les ré-
sultats obtenus.
ex
2) Démontrer que, pour tout réel x, f1 (x) = .
1 + ex
3) On appelle f1′ la fonction dérivée de f1 sur R. Calculer, pour tout réel x, f1′ (x).
En déduire les variations de la fonction f1 sur R.

Partie B
Dans cette partie, on choisit k = −1 et on souhaite tracer la courbe C−1 représentant la
fonction f−1 .
Pour tout réel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et M le point de C−1 d’abscisse
x. On note K le milieu du segment [MP].

1) Montrer que, pour tout réel x, f1 (x) + f−1 (x) = 1.
1
2) En déduire que le point K appartient à la droite d’équation y = . Que peut-on en
2
déduire pour la courbe C−1 par rapport à la courbe C1 ?
3) Tracer soigneusement la courbe C−1 sur l’annexe, à rendre avec la copie.

Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la
réponse.

1) Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction
fk est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1.
2) Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction fk est strictement croissante.
!
1
3) Pour tout réel k > 10, fk > 0, 99.
2




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Annexe de l’exercice 4
À rendre avec la copie



Prénom :

Nom :




1

→
−

C1

O →
−
−3 −2 −1 ı 1 2 3



−1




−2




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