Terminale S ROC 2017
Restitution Organisée des Connaissances
Voici la liste des ROC à connaître. Attention, il faut bien lire l’énoncé et les prérequis. Il peut
parfois y avoir une légère différence entre la ROC vue en classe et celle demandée.

TABLE DES MATIERES :
1) Les suites.
a) Somme des termes d’une suite géométrique. ..........2
b) Inégalité de Bernoulli. ..........3
c) Théorème de comparaison. ..........4
d) Limite d’une suite géométrique. ..........5
e) Suite croissante non majorée. ..........6
2) Analyse.
a) Unicité de la fonction exponentielle. ……….7
b) Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle. ……….8
c) Limite en l’infini de la fonction exponentielle. ……….9
d) Limites de référence de la fonction exponentielle. ……...10
e) Logarithme du produit. ……...11
f) Limites de la fonction logarithme aux bornes de son ensemble de définition. ……...12
g) Croissance comparée. ……...13
h) Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. ……...14
i) Théorème fondamental de l’intégration. ……...15
j) Existence des primitives. ……...17

3) Les nombres complexes.
a) Propriété des modules. ……...18
b) Propriété des arguments. ……...19
c) Propriété géométrique des complexes. ……...20
4) Probabilité et statistiques.
a) Indépendance. ……...21
b) Loi exponentielle, loi sans mémoire. ……...22
c) Espérance d’une loi exponentielle. ……...23
d) Loi Normale. Probabilité d’intervalle centré en 0. ……...24
e) Intervalle de fluctuation. ……...25
f) Intervalle de confiance. ……...26

5) Géométrie dans l’espace.
a) Le théorème du Toit. ……...27
b) Droite orthogonale à un plan. ……...28
c) Equation cartésienne d’un plan. ……...29




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1) Les suites
a) Somme des termes d’une suite géométrique.
Théorème 1:
Soit (un ) une suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme u0
La somme des n +1 premiers termes est égale à :
1− q n+1
Sn = u0 + u1 + .......+ un = u0 ×
1− q

Démonstration :
On a : Sn = u0 + u1 + .......+ un
Soit Sn = u0 + u0 × q + .......+ u0 × q n
Soit (
Sn = u0 1+ q + .......+ q n )
On pose alors An = 1+ q + .......+ qn
On a alors qAn = q + q2 + .......+ qn+1
En opérant une soustraction, An − qAn = 1− qn+1
1− q n+1
Par factorisation, on obtient alors : An =
1− q

1− q n+1
On a alors : Sn = u0 ×
1− q




2
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b) Inégalité de Bernoulli.
Théorème 2 :
n
Soit a un réel positif. Alors, pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na
n
Montrons par récurrence la propriété notée : ∀n ∈ Ν Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na
(1) Initialisation :
0 0
(1 + a ) = 1 et 1 + 0 × a = 1 , donc (1 + a ) = 1 + 0 ⋅ a P0 est vraie, la propriété est amorcée.
(2) Hérédité :
n
Je suppose que Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na est vraie pour un entier naturel n.
n+1
Montrons alors que la propriété est vraie au rang n +1 Pn+1 : (1+ a ) ( )
≥ 1+ n +1 a
n+1 n
Pour rappel, (1 + a ) = (1 + a )(1 + a )
n
Puisque (1 + a ) ≥ 1 + na alors, en multipliant les deux membres de cette inégalité par le réel
positif 1 + a :
n n+1
(1 + a )(1 + a ) ≥ (1 + a )(1 + na) ) , soit (1 + a ) ≥ 1 + ( n + 1) a + na²
n et a étant des nombres positifs, alors 1 + ( n + 1) a + na² ≥ 1 + ( n + 1) a .
D’où Pn+1 est vraie, la propriété est héréditaire.
(3) Conclusion
n
Pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na




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c) Théorème de comparaison.
Théorème 3 : (dit de l’ascenseur)
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites vérifiant :
∃ n0 ∈ Ν tel que : pour tout entier n > no, on ait vn < un et lim vn = +∞
n→+∞

Alors, lim un = +∞
n→+∞


Démonstration :
Soit A un réel positif. Puisque lim vn = +∞ , alors tout intervalle ] A;+∞[ contient les termes de
n→+∞

la suite ( vn ) à partir d’un certain rang noté n1 .
Ainsi, ∀n ≥ n1 on a : vn ≥ A
De plus, ∀n ≥ n0 on a: un ≥ vn
En notant p = max(n1 ,n0 ) , ∀n ≥ p on a : un ≥ vn ≥ A
Ainsi tout intervalle de la forme ] A;+∞[ contient les termes de ( un ) à partir d’un certain rang
donc lim un = +∞
n→+∞




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d) Limite d’une suite géométrique.
Théorème 4:
La suite définie par un = qn est géométrique de raison q.
• Si q < −1 , la suite est alternée et divergente.
• Si −1< q < 0 , la suite est alternée et convergente de limite 0.
• Si 0 < q < 1 , la suite est décroissante et convergente de limite 0.
• Si q > 1 , la suite est croissante et divergente de limite +∞ .
Démonstration :
n
• On a démontré au premier chapitre l’inégalité de Bernoulli. (1+ a ) ≥ 1+ na .
Soit un = q n Comme q > 1 , on peut poser q = 1+ a avec a > 0 . On a alors q n = (1+ a) n
or (1+ a) n > 1+ na , donc q n = (1+ a) n > 1+ na
or a > 0 donc lim 1+ na = +∞ donc lim qn = +∞
n→+∞ n→+∞



• Pour démontrer lim qn = 0 avec 0 < q < 1
n→+∞

1
On pose Q = , on obtient donc Q > 1
q
On revient alors à la première limite et on conclut avec le quotient des limites.




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e) Suite croissante non majorée.
Théorème 5 :
• Si la suite (un) est croissante et non majorée, alors lim un = +∞ .
n→+∞

• Si la suite (un) est décroissante et non minorée, alors lim un = −∞
n→+∞



Démonstration :
Supposons que ( un ) soit croissante et non majorée et soit un intervalle ] A;+∞[
v Si cet intervalle ne contenait aucun terme de la suite, alors ∀n ∈ ! , un < A et ainsi la
suite serait majorée par A. Puisque la suite n’est pas majorée, il existe un terme noté
u p qui appartient à ] A;+∞[ .
v La suite étant croissante, ∀n ≥ p , on a : un ≥ u p et donc u p ∈ ] A;+∞[ .
Ainsi, à partir du rang p, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ] A;+∞[ . Ceci étant
vrai pour tout intervalle ] A;+∞[ , la suite diverge vers +∞




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2) Analyse
a) Unicité de la fonction exponentielle.
Théorème 6 :
Si f est une fonction dérivable sur ! vérifiant les deux conditions: f ( 0 ) = 1 et f ' = f
alors f ne s’annule pas sur ! .
Démonstration :
On pose une fonction h(x) = ...