Aujourd'hui nous allons jeter un coup d'oeil sur un dernier algorithme que nous n'avions pas corrigé jusqu'à présent, celui tombé à l'épreuves de maths du BAC S dans les lycées français d'Amérique du Sud:
Pour une fois, l'algorithme ne tombe pas dans le contexte de suites mais de fonctions.
La fonction f ici mentionnée a pour expression f(x)=x/2*e-x/2 et représente la quantité en mg de principe actif d'un médicament passée dans le sans en fonction du temps, le temps zéro correspondant ici à l'injection.
Question B)3)a):
L'algorithme est constitué ici d'une boucle 'tant que'.
Sa condition de poursuite est f(n)>0,1.
Si l'algorithme s'arrête, c'est que l'on a réalisé la condition contraire: f(n)≤0,1.
n est ici une variable initialisée à 3 et incrémentée de 1 par la boucle.
Cette boucle teste donc les images par la fonction f pour n=3, 4, 5, 6, etc...
Or, on a montré au A)2)a) que la fonction f avait pour limite 0 en +∞.
Par définition même de cette limite, pour tout réel a>0, il existe un certain rang n0 tel que pour tout n≥n0, -a≤f(n)≤a.
En prenant a=0,1, il existe un certain rang n0 tel que pour tout n≥n0, -0,1≤f(n)≤0,1.
Donc forcément, l'algorithme s'arrête.
Question B)3)b):
On nous demande maintenant ce que répond l'algorithme.
Si on bien compris ce qu'il faisait, on peut se contenter de demander tout simplement à la calculatrice un tableau de valeurs pour la fonction f.
Sur TI-82 à TI-84, il suffit d'abord de saisir la fonction avec
, puis de configurer le tableau de valeurs avec 
(à partir de 3 et avec un pas de 1 ici donc) et enfin d'en demander l'affichage avec 
:
La première valeur de n vérifiant f(n)≤0,1 est donc n0=8.
La même chose est réalisable sur Casio Graph et Casio Prizm:
Ou encore sur TI-Nspire en utilisant le raccourci
à partir d'une application graphique:
Dans tous les cas on trouve bien évidemment n0=8.
Le seul ennui de cette méthode, est que si l'on a mal compris l'algorithme on se trompe...
La méthode sans danger qui demandera à peine plus de temps si vous vous êtes bien entraîné, est de programmer tout simplement l'algorithme sur votre calculatrice et là le résultat sera fiable!
Voici donc là encore la solution pour les principaux modèles de calculatrices graphiques:
Question B)3)c):
On nous demande enfin d'interpréter ce résultat.
Il s'agit donc du nombre d'heures au bout duquel la quantité de principe actif présent dans le sang chutera en dessous de 0,1mg.
A bientôt! 
Lien:
BAC S 2013: Annales des sujets inédits corrigés
